Tout d’abord, il existe tout un «bestiaire» des maliciels où l’on distingue précisément un ver (worm), d’un virus, d’un cheval de Troie (trojan), etc.
Franchement ... on s’en fiche un peu.
Vous aurez toujours un puriste pour vous dire «non ce n’est pas un virus, c’est un ver». Mais le paysage actuel de la menace fait que les programmes malveillants que l’on dépose sur votre ordinateur sont pratiquement toujours protéiformes. Ils sont à la fois des chevaux de troie, des rootkit, des virus, ...  
Donc en utilisant le terme générique «maliciel» (malware en anglais, contraction de malicious software), vous parlez de cette catégorie en entier et ce niveau de précision sera pratiquement toujours pertinent. En utilisant le terme «virus», vous le serez moins, mais on comprendra quand même de quoi vous voulez parler.

Bien maintenant : que fait un maliciel ?
Ça peut être tout un tas de malversations (en général c’est plusieurs à la fois), les plus communes sont :

• permettre à un pirate de prendre le contrôle de votre machine à distance
• espionner votre activité (navigation internet, webcam, micro, ...)
• voler vos informations importantes : mots de passe, numéros de CB, clé WiFi enregistrées, accès VPN de l’entreprise, etc.
• chiffrer vos données pour ensuite vous demander une rançon (ransomware)
• exfiltrer vos données pour ensuite les revendre ou vous demander une rançon contre le fait de ne pas les divulguer
• installer une porte dérobée sur votre ordinateur, permettant de récupérer un accès si vous arriviez à supprimer le maliciel
• essayer de se répliquer sur d’autres ordinateurs du réseau où vous êtes connecté
• détruire les données et le système d’exploitation pour que votre ordinateur devienne inopérant
• etc.

Peut être allez vous demander : «c’est pas un peu comme un exploit ?».

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L’exploit permet d’exploiter une vulnérabilité pour compromettre une cible. C'est une fois que la cible est compromise qu'on peut y faire ce qu'on veut ensuite. Et bien le maliciel c'est le truc qui se charge de «faire ce qu’on veut ensuite».
L'exploit sert donc à obtenir une position depuis laquelle le malware peut effectuer sa basse besogne.
MAIS !
Les deux sont en fait assez intriqués car un maliciel peut chercher à se répliquer sur d’autres machines du réseau. Pour ce faire, il va devoir embarquer des exploits permettant d’exploiter les éventuelles vulnérabilités de ces autres machines du réseau.
Donc un exploit sert à installer le maliciel sur la cible, maliciel qui peut comporter lui-même des exploits.

Le principal défi pour quelqu'un qui conçoit un maliciel est la furtivité : éviter la détection par les antivirus (on parle d'AV evasion en anglais) qui sont de plus en plus perfectionnés. C'est cette tâche qui mobilise le plus gros de la matière grise de son concepteur.